计算机图形学基础

视角(view)和投影(projection)变换

Reference

相机变换

变换的目的是将三维图形投影到二维平面上，通过光栅化获得像素的离散表征，给定相机的位置$e$，look at方向$g$（相机朝向），up方向$t$，获得一个新坐标轴，原点在e，y轴方向和t相同，z轴方向和g相反，视角变换矩阵$M_{view}$拆分成旋转$R_{view}$和平移$T_{view}$两项

$M_{view} = R_{view}T_{view},M,R,T\in \R^4$

考虑三维空间中的旋转，v分解为平行和垂直分量
$v = v_\parallel + v_\perp\\ v_\parallel = (u\cdot v) u\\ v_\perp = v - (u\cdot v) u$
仅仅旋转$v_\perp$，增加一个轴，记作
$w = u \times v_{\perp}\\ \parallel w \parallel = \parallel u \parallel \parallel v_\perp\parallel = \parallel v_\perp \parallel$
将变换后的$v_\perp^\prime$分解到w和$v_\perp$方向，得到
$v_\perp^\prime = v_v^\prime + v_w^\prime =\cos \theta v_\perp + \sin \theta (u\times v_\perp)$
它们的关系是

因此新的旋转结果记作
$\begin{aligned} v^\prime &= v_\parallel + \cos\theta v_\perp +\sin\theta(u\times v_\perp)\\& = (u\cdot v)u +\cos\theta (v - (u\cdot v)u) + \sin\theta(u\times v) \\&= \cos\theta v + (1 -\cos\theta)(u\cdot v) u +\sin\theta(u\times v) \end{aligned}\label{rotate_eq}$
旋转轴是一个单位向量

为了进一步讨论三维空间中的旋转，我们引入四元数，在这种情况下空间中任何一个点表示为

$(x,y,z) \to q = w+ i x+ j y + kz=s+v$

对应的共轭四元数为$s - v$，定义

$ij = k,jk = i,ki = j,i^2 = j^2 = k^2 = -1$

两个四元数相乘记作

$q_1 q_2 =s_1 s_2 - v_1 \cdot v_2 +s_1 v_2 + s_2 v_1 + v_1 \times v_2$

写成矩阵形式

一对互逆的四元数满足

$q q^{-1} = 1$

共轭四元数指的是

$q = w + v\\ \overline q = w -v\\ q \overline q = \parallel q\parallel ^2 = w^2 + \parallel v\parallel ^2$

我们将$\ref{rotate_eq}$中的向量视为纯四元数

$v = [0,v],v_\perp = [0,v_\perp],v_\parallel = [0,v_\parallel],v = v_\perp + v_\parallel$

考虑垂直分量，写成纯四元数的形式

$v_\perp^\prime = \cos\theta v_\perp + \sin\theta(u\times v_\perp)=\cos\theta v_\perp +\sin\theta (uv_\perp) = (\cos\theta +\sin\theta u)v_\perp = qv_\perp\\ q = (\cos\theta,\sin\theta u)$

这是垂直向量的旋转公式，因此旋转被记作

$v^\prime = v_\parallel + qv_\perp$

对于单位向量u以及$q = [\cos\theta ,\sin\theta u]$，有$q^2 = qq = [\cos2\theta,\sin 2\theta u]$，并且q也是单位四元数，此时若$p =[\cos\frac \theta 2,\sin \frac \theta 2u]$，有$p^2 = q,p^{-1} = [\cos\frac{\theta}2 ,- \sin\frac\theta 2u]=p^*$

进一步写出

$v^\prime = v_\parallel +qv_\perp = pp^{-1}v_\parallel+ pp v_{\perp} =pp^*v_\parallel +pp v_\perp$

简化这个公式，介绍两个引理